2 posts / 0 new
Ultimo contenuto
homer

R2 - Antitrasformata di Laplace (poli complessi coniugati)

Determinare l'antitrasformata della seguente funzione con poli complessi coniugati

\[F(s) = \frac{{2s + 5}}{{{s^2} + 6s + 34}}\]

 

homer

S2 - Antitrasformata di Laplace di funzione con poli complessi

\[F(s) = \frac{{2s + 5}}{{{s^2} + 6s + 34}}\]

Stabilito che le radici del denominatore sono complesse coniugate (discriminante negativo), senza determinare tali radici riscrivo la funzione esprimendo il denominatore come somma di quadrati.

\[F(s) = \frac{{2s + 5}}{{{s^2} + 6s + 34}} = \frac{{2s + 5}}{{{{(s + 3)}^2} + {5^2}}} = \frac{{2(s + 3) - 1}}{{{{(s + 3)}^2} + {5^2}}}\]

da cui

\[F(s) = \frac{{2(s + 3)}}{{{{(s + 3)}^2} + {5^2}}} - \frac{1}{{{{(s + 3)}^2} + {5^2}}} = \]

\[ = \frac{{2(s + 3)}}{{{{(s + 3)}^2} + {5^2}}} - \frac{1}{5}\frac{5}{{{{(s + 3)}^2} + {5^2}}}\]

L'antitrasformata è immediata

\[f(t) = {e^{ - 3t}}(2\cos 5t - \frac{1}{5}\sin 5t)  per  t \ge 0\]

Con la trasformata di Steinmetz

\[s(t) = 2\cos 5t - \frac{1}{5}\sin 5t\]

\[\bar S = 2 + j\frac{1}{5} = 2,01\angle {5,7^\circ }\]

da cui \[s(t) = 2,01\cos (5t + {5,7^\circ })\]

quindi

\[f(t) = 2,01{e^{ - 3t}}\cos (5t + {5,7^\circ })  per  t \ge 0\]

 

Accedi o registrati per inserire commenti.