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homer

R1 - Antitrasformata (poli complessi coniugati)

Determinare l'antitrasformata di Laplace della seguente funzione con poli complessi coniugati

\[{F_1}(s) = \frac{s}{{{s^2} + 2s + 2}}\]

 

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S1 - Antitrasformata di Laplace di funzione con poli complessi

La funzione \[{F}(s) = \frac{s}{{{s^2} + 2s + 2}}\] presenta poli complessi coniugati.

Una prima soluzione consiste nel determinare le radici del denominatore e riscriverlo come prodotto di due binomi complessi; poi rendere la funzione assegnata come somma di fratti semplici i cui residui sono complessi coniugati. Effettuata l'antitrasformata si raccolglie il termine esponenziale reale comune e, separatamente, i termini con esponente immaginario positivo e negativo con coefficiente moltiplicativo reale e immaginario che, attraverso la formula di Eulero, danno luogo, rispettivamente, ad una funzione coseno e ad una funzione seno.

In definitiva l'antitrasformata sarà la somma di una funzione coseno e una funzione seno con la stessa pulsazione e ampiezza variabile in modo esponenziale, cioè la somma di funzioni cisoidali. 

Il procedimento alternativo seguente è più sbrigativo e si basa sulla conoscenza della trasformata di funzioni cisoidali in applicazione della proprietà della traslazione complessa.

Prima di tutto si riscrive la funzione con il denominatore espresso come somma di quadrati 

\[F(s) = \frac{s}{{{{(s + 1)}^2} + 1}}\]

poi, si evidenzia al numeratore il termine del primo quadrato

\[F(s) = \frac{{s + 1 - 1}}{{{{(s + 1)}^2} + 1}}\]

quindi, si separano i termini, quello che al numeratore contiene la variabile s da quello che non la contiene \[F(s) = \frac{{s + 1}}{{{{(s + 1)}^2} + 1}} - \frac{1}{{{{(s + 1)}^2} + 1}}\]

a questo punto l'antitrasformata è immediata: per la proprietà della traslazione complessa, il primo è la trasformata di una funzione coseno per una funzione esponenziale, il secondo è il prodotto di una funzione seno per la stessa funzione esponenziale

\[f(t) = {e^{ - t}}\cos t - {e^{ - t}}\sin t = {e^{ - t}}(\cos t - \sin t)  per  t \ge 0\]

Determino la somma delle due sinusoidi con il metodo dei fasori (trasformata di Steinmetz)

\[s(t) = \cos t - \sin t\]

\[\bar S = 1 + j = \sqrt 2  \angle  {45^\circ }\]

perciò \[s(t) = \sqrt 2 \cos (t + {45^\circ })\]

da cui

\[f(t) = \sqrt 2 {e^{ - t}}\cos (t + {45^\circ })  per  t \ge 0\]

 

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