Risposta in regime permanente

La risposta in frequenza (o funzione di risposta armonica) $F(j\omega )$ è una funzione complessa e viene normalmente espressa sotto forma di modulo ${F(\omega )}$ e fase ${{\varphi _F}(\omega )}$ (cioè in coordinate polari nel piano complesso)

\[F(j\omega ) = {F(\omega )} {e^{j{\varphi _F}(\omega )}}\]

Le funzioni reali ${F(\omega )}$ e ${{\varphi _F}(\omega )}$ sono chiamate rispettivamente risposta in ampiezza e risposta in fase del circuito.

La rappresentazione grafica delle 2 funzioni ${F(\omega )}$ e ${{\varphi _F}(\omega )}$ al variare di $\omega$ è nota come diagrammi di Bode, mentre la rappresentazione grafica della funzione $F(j\omega )$ su un piano complesso è nota come diagramma polare.

La conoscenza della risposta in frequenza consente di valutare l'effetto del circuito sull'ingresso sinusoidale al variare della pulsazione.

Per un circuito lineare, la risposta ad un segnale sinusoidale in ingresso è sempre un segnale sinusoidale alla medesima frequenza.

I valori delle curve relativi alla pulsazione $\omega$ del generatore, consentono di determinare l'ampiezza e la fase della risposta a regime (risposta in regime sinusoidale).

Se l'ingresso del circuito è costituito da un generatore di segnale composto (non sinusoidale) è possibile determinare la risposta in regime deformato, sommando gli effetti frequenza per frequenza.

REGIME CONTINUO

Applicato un segnale costante $X_0$ in ingresso ad un circuito dinamico, lineare, tempo invariante, asintoticamente stabile, esaurita la fase di transitorio (in un tempo sufficientemente lungo), l'uscita (o risposta) $Y_0$ è un segnale costante che può essere valutato nel dominio di Laplace con il teorema del valore finale [ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y(t) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s\frac{{{X_0}}}{s}F(s)$], o dalla conoscenza del valore della funzione di risposta armonica  $F(j\omega )$ a pulsazione nulla $F(j0 )$.

Risulta infatti \[{Y_0} ={X_0} F(j0)\]

 [$F(j0 )$ è un numero reale, positivo o negativo, non il modulo $F(0 )$; è invece ${\left. {F(s)} \right|_{s = 0}}$]

REGIME SINUSOIDALE

Sia $x(t) = X\cos (\bar \omega t + \varphi )$ il generatore sinusoidale applicato al medesimo circuito e$\bar X = X{e^{j\varphi }}$ il corrispondente fasore. Se $F(j\omega )$ è la funzionedi rete (o di trasferimento) in regime sinusoidale (funzione di risposta armonica o risposta in frequenza) \[F(j\omega ) = {F(\omega )} {e^{j{\varphi _F}(\omega )}}\] la risposta y(t) in regime sinusoidale permanente (cioè, a transitorio esaurito) è \[y(t) = X {F(\bar \omega )}  cos (\bar \omega t + \varphi  + {\varphi _F}(\bar \omega ))\] calcolata applicando il teorema della risposta in frequenza o l'antitrasformata di Steinmetz al fasore dell'uscita (ottenuto come prodotto del Fasore dell'ingresso per la Risposta in frequenza valutata alla frequenza dello stesso segnale) \[y(t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} [\bar Y {e^{j(\bar \omega t)}}]    con   \bar Y = \bar X F(j\bar \omega ) = X F(\bar \omega ) {e^{j(\varphi  + {\varphi _F}(\bar \omega ))}}\]

REGIME DEFORMATO

Se il generatore indipendente in ingresso è un generatore di segnale composto, ad es \[x(t) = {X_0} + {X_1}\cos ({\omega _1}t + {\varphi _1}) + {X_2}\cos ({\omega _2}t + {\varphi _2}) + ...\]

e $F(j\omega )$ la funzione di risposta armonica del circuito, la risposta permanente in regime deformato risulta\[y(t) =  {X_0} F(j0)  + {X_1} F({\omega _1})\cos ({\omega _1}t + {\varphi _1} + {\varphi _F}({\omega _1})) + {X_2} F({\omega _2})\cos ({\omega _2}t + {\varphi _2} + {\varphi _F}({\omega _2})) + ...\] cioè, per la linearità del circuito, la risposta (a regime) y(t) all'ingresso composto x(t), somma di più armoniche, è uguale alla somma delle risposte (a regime) che si avrebbero se i termini delle singole armoniche agissero da soli.